Moment Of Truth

UNIT-I

MATRICES

PART-A

a

4

1.  Find  the  constants  a  and  b  such  that the  matrix

has 3  and  -2  as  its

1

b

eigen  values.

6

− 2

2

2. The  product of  two  eigen  values  of  the  matrix A  = − 2

3

− 1

is  16,

− 1

2

3

Find

the  third  eigen  value.

3.  Find  the  sum  and  product of  the  eigen  values  of  the  matrix

1

2

− 2

A  =

1

0

3

using  properties.

− 2

− 1

− 3

4. If the sum of two eigen values and trace of a 3X3 matrix A are equal, find A .

 

4      1 3

5.  Given  that   A  = ,  find  the  eigen  values  of  A  .

 

3      2

 

				2	5	− 1
6.  Find  the  eigen  values  of  A-1 if  the  matrix A  is  A  = 0					3	2 .
				0	0	4
	2	2	1
7. Two  eigen  values  of  the  matrix	A  = 1	3	1	are  equal  to  1  each.  Find
	1      2      2
KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM							1

 

MA1101-MATHEMATICS-I

the  eigen  values  of   A^-1.

 

8.If 1 & 2 are the eigenvalues of a 2X2 matrix A, what are the eigenvalues of A² and A^-1.

9. Let λ be  an  eigen  value  of  a  non-singular  matrix A  with  eigen  vector  x.

 

Show	that	1	is  an  eigen  value  of  A-1 with  eigen  vector  x.
		λ

 

10.	If λ1 , λ2 , λ3 ,………, λn				are  the  eigen  values  of  an  nXn  matrix A,  then  show
	3	3		3	3
	that λ1 , λ2		, λ3	,………, λn are  the  eigen  values of  A3.
						3	1	4
11.	Find  the  sum  of  the  squares  of  the  eigenvalues of					A = 0	2	6	.
						0	0	5

 

12. State  Cayley-Hamilton  theorem.

13. Give  two  uses of   Cayley-Hamilton  theorem.

					1	4
14.	using	Cayley-Hamilton  theorem		find  the  inverse  of		.
					2	3
				3		− 1
15.	Verify Cayley-Hamilton  theorem  for  the  matrix A  =					.
				− 1		5
		1	0
16.	If  A  =		write  A3 interms  of  A and  I, using  Cayley-Hamilton  theorem.
		0	5

17. Define  orthogonal matrix.

1. 18. write  down  the  quadratic form  corresponding  to  the  symmetric  matrix

	2	1	− 2
	1	2	− 2	.
− 2		− 2	3

19. Classify the  quadratic  forms x₁² + x₃² and x₁² − x₂ ² .

1. 20. Find  the  index and signature  of  the  quadratic form x₁² + 2x₂ ² − 3x₃² .

 

PART-B
				11		− 4	− 7
1.a.  Find  the  eigen  values  and  eigen  vectors of  the  matrix A  = 7						− 2	− 5	and
				10		− 4	− 6
hence  find  the  eigen  values  of  A2,5A and  A-1 using  properties.								(8)
		8	− 6	2
b. Find  the  eigen  values  and  eigen  vectors of	− 6		7	− 4	.			(8)
		2	− 4	3

 

 

 

KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM 2

 

			MA1101-MATHEMATICS-I
															4		1		1
2.a.  Find  the  eigen  values  and   the  eigen  vectors  of  the  matrix 1																	4		1 .			(8)
															1		1		4
																2			1	− 1
b. Find  the  eigen  values  and  eigen  vectors of  the  matrix A  = 1																			1	− 2 .(8)
																− 1		− 2		1
																2		2	0
3.a.  Find  the  eigen  values  and  the  eigen  vectors  of  the  matrix																2		1	1 .			(8)
															− 7			2	− 3
																1			1	1
b.  Using  Cayley-Hamilton  theorem, find  A-1 given  the  matrix   A  = 1																			2	− 3 .(8)
																			− 1
																2				3
			7												3
4.a. Verify Cayley-Hamilton  theorem  for the  matrix A  =															and  hence find  A-1
			2												6
and  A3.																						(8)
			7												2	− 2
b.  Using  Cayley-Hamilton  theorem, find  A-1 if   A  = − 6															− 1	2 .						(8)
			6												2	− 1
1	0		0
5.a. If  A = 1	0		1 , find  A-1 and  A4 using  Cayley-Hamilton  theorem.																			(8)
0	1		0
															1			2		− 2
b. Verify Cayley-Hamilton  theorem  and  hence  find  A-1 if  A  = − 1																		3		0 . (8)
																		− 2
															0					1
				2		2	0
6.a.  Diagonalise				2		1	1 .							(8)
		− 7				2	− 3
									1		0		0
b.Diagonalize  the  matrix A  = 0											3	− 1 using  an  orthogonal  transformation. (8)
											− 1
									0				3
					6			− 2			2
7.a.  Diagonalize  A  = − 2									3	− 1		by an  orthogonal  transformation.									(8)
								− 1
					2						3
					10				− 2		− 5
b.  Reduce  the  matrix − 2									2		3		to  diagonal form.								(8)
					− 5				3		5

 

 

KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM 3

 

																	MA1101-MATHEMATICS-I
8.a.  Reduce  the  quadratic form x 2 + 2 y 2 + z 2 − 2 xy + 2 yz into  canonical form.																				(8)
b.  Reduce  the  quadratic form 10x12 + 2x2 2 + 5x32 + 6 x2 x3 − 10x3 x1 − 4 x1 x2 .																				(8)
9.  Reduce 6 x 2 + 3 y 2 + 3z 2 − 4 xy − 2 yz + 4 xz into  a  canonical form  by an
orthogonal  reduction  and find  the  rank, index,  signature  and  the  nature  of																				the
quadratic form.																				(16)
10.  Reduce  the  quadratic  form x12 + 5x2 2 + x3																2 + 2x1 x2 + 2x2 x3 + 6x3 x1			to  canonical
form  through  an  orthogonal  transformation.																				(16)
11.  Reduce  the  quadratic  form													to  canonical 3x 2 + 5 y 2 + 3z 2 − 2 xy − 2 yz + 2 zx
form  through  an  orthogonal  transformation.																				(16)
12.  Reduce  the  quadratic form 8x12 + 7 x2															2 + 3x32 − 12x1 x2 − 8x2 x3 + 4x3 x1 to
	canonical form  through  an  orthogonal  transformation  and  hence  show that  it
	is  positive  semi-definite.																			(16)
														UNIT  -  II
							THREE  DIMENSIONAL  GEOMETRY
														PART  –  A
1.  Find  the  angle  between  the  lines x =															y	= z and	x − 4	= y − 1 = z + 6
															− 2
													2			1	2	1	2
2.  Find  the  angle  between  the  lines  whose  direction  cosines are
	1		1		1			1		1			1
		,		,		& −			,		,			.
	3		3		3			3		3			3

 

3. Find  the  direction  cosines of  the  line  joining  the  points  (2,3,-6)  and  (3,-4,5).

4. Find  the  equation  of  the  line  joining  the  points  (1,2,3)  and  (-3,4,5).

 

5.  Find  the  acute  angle  between  the  lines			x	= y =	z	and
					− 1
			1	2
x =	y	= z .
2	1	1

 

6. Prove  by direction  ratios,  the  points  (1,2,3),  (4,0,4),  (-2,4,2)  are  collinear.

7. Find the direction cosines of a line perpendicular to the two lines whose direction ratios are (1,2,3) and (-2,1,4).

8. Find the projection of the segment joining A(1,2,3) and B(6,7,9) on the line whose direction ratios are (1,2,-3).

9.  Find  the  values  of  K, if  the  lines ^{x − 2} = ^{y − 1} = ^{z − 3} and

		3	2	K
x − 3	= y − 2 = z − 4 are  coplanar.
K	3	5

 

10.  Find  the  centre  and  radius of  the  sphere 2( x ² + y ² + z ² ) + 6 x − 6 y + 8z + 9 = 0 .

 

11. Find  the  equation  of  the  sphere  concentric  with

x ² + y ² + z ² − 2 x − 2 y − 2 z − 1 = 0 and  passing  through  the  point  (-2,1,-5).

 

12.	Find  the  equation  of  the  sphere  whose  centre  is  same  as   that of	the
	sphere x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z + 7 = 0 and  which  passes  through  the  point
	(1,-1,1).
	KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM	4

 

MA1101-MATHEMATICS-I

 

13. Write down the equation of the sphere whose diameter is the line joining the points (1,1,1) and (-1,-1,-1).

14. Find  the  centre  and  the  radius of  the  sphere

 

7( x ² + y ² + z ² ) + 28x − 42 y + 56 z + 3 = 0 .

 

15.  Check  whether  the  two  spheres x ² + y ² + z ² + 6 y + 2 z + 8 = 0

 

and x ² + y ² + z ² + 6 x + 8 y + 4 z + 20 = 0 intersect each  other orthogonally.

 

1. 16. Find  the  equation  of  the  sphere  having  the  circle

x   ² + y ² + z ² = 9 and x − 2 y + 2 z = 5 as  a  great circle.

 

1. 17. Find the equation of the tangent plane at the point (1,-1,2) to the sphere x ² + y ² + z ² − 2 x + 4 y + 6 z − 12 = 0 .

18. Write  down  the  general  equation  of  the  cone  whose  vertex is  at  the  origin.

19. Find the equation of the cone with vertex at the origin and which passes through the curve x ² + y ² = 4 , z = 2 .

20. Write down the equation of the right-circular cylinder whose axis is the z-axis and radius “a” units.

 

PART-B

 

1.    a)  Find  the  length  and  the  equation  of  shortest  distance  between

	The  lines x − 3 = y − 8 = z − 3 and				x + 3 = y + 7 = z − 6 .(8)
	3	− 1	1		− 3	2		4
	b)Show that  the  lines		x − 4 =	y − 5	= z − 6	and	x − 2 = y − 3 = z − 4
			2	3	4		3	4	5
	are  coplanar.							(8)
2.	a)  Show that  the  lines		x − 5 = y − 7 = z + 3			and	x − 8 = y − 4 = z − 5
			4	4	− 5		7	1	3
	are  coplanar and find  their  point  of  contact.							(8)
	b)Prove  that  the  lines		x + 1 = y − 3 = z + 2			and x = y − 7 = z + 7
			− 3	2				− 3	2
	intersect.  Find  the  co-ordinates of  the  point  of intersection  and  equation  of  the
	plane  containing  them.							(8)

 

3.     a)Find  the  angle  between  the  straight  lines  whose  direction  cosines are  given

 

by the  relation  3l+m+5n=0  and
6mn-2nl+5lm=0.	(8)

b)Find  the  equation  of  the  sphere  described  on  the  line  joining

 

the points (2,-1,4) and (-2,2,-2) as diameter. Find also the area of the circle in which the sphere is cut by the plane 2x+2y-z=3. (8)

 

1. 4. a) Find the equation of the sphere passing through the points (1,1,-2) and (-1,1,2) and having its centre on the line

 

x+y-z-1=0=2x-y+z-2.	(8)
b)  Find  the  equation  of  the  sphere  through  the  circle x 2 + y 2 + z 2		= 9
2 x + 3 y + 4 z = 5 and  the  point   (1,2,3).	(8)
5.    a)Show that the  plane  2x-2y+z=9  touches  the  sphere
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y − 7 = 0 and  find  the  point of  contact.	(8)
b)Find  the  equation  of  the  tangent plane  to  the  sphere
KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM		5

 

MA1101-MATHEMATICS-I 3( x ² + y ² + z ² ) − 2 x − 3 y − 4 z − 22 = 0 at the point (1,2,3). Also find

 

the  equation  of  the  normal  to  the  sphere  at  (1,2,3). (8)

1. 6. a)  Find  the  equation  of  the  tangent  plane  to  the  sphere

x ² + y ² + z ² − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 which  passes through  the  line

 

9x-3y+25=0=3x+4z+9. (8)

 

b)Find  the  equation  of  the  sphere  which  touches the  plane  3x+2y-

 

z+2=0  at	the  point  (1,-2,1)and  also  cuts  orthogonally   the  sphere
x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 .		(8)

 

1. 7. a)Prove that a point at which the sum of the squares of whose distances from the planes x+y+z=0 , x-z=0, x-2y+z=0 is 9, lies on the sphere

 

	x 2 + y 2 + z 2 = 9 .			(8)
	b)Find  the  area  of  the  circle  in  which  the  sphere
	x 2 + y 2 + z 2 + 12 x − 2 y − 6 z + 30 = 0 is  cut  by the  plane  x-y+2z+5=0.  (8)
8.    a)Find  the  centre  and  radius of  the  circle  given  by
	x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y − 4 z − 19 = 0 and  x+2y+2z+7=0.			(8)
	b)Find  the  equation  of  the  cone  with  vertex at  the  origin  and  the  guiding
	curve  is  the  circle x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 2 y − 6 z + 5 = 0 ,2x+y+2z+5=0.   (8)
9.	a)The  plane x +	y	+ z = 1 meets the  axes  in  A,B,C.  Find  the  equation  of  the
	a	b	c
	cone  whose  vertex is  the  origin  and  the  guiding  curve  is  the  circle  ABC.  (8)
	b)Show that  the  equation  to  the  right-circular  cone  whose  vertex is  O,  axis
	OZ and  semivertical  is α is x 2 + y 2 = z 2 tan 2 α .			(8)

 

10. a)Find  the  equation  of  the  cylinder  whose  generator  are  parallel to  the  line

x =	− y	=	z	and  whose  guiding  curve  is  the  ellipse x 2 + 2 y 2	= 1 ,  z=3.  (8)
	2		3

 

b)Find the equation of the right-circular cylinder of radius 2 whose axis passes through the point (1,2,3) and has direction cosines proportional to 2,-3,6. (8)

 

UNIT  III

DIFFERENTIAL  CALCULUS

PART  -  A

 

 

1. 1. Find  the  radius of  curvature  of  the  curve  y =  log  sin  x at  x = π/2  .

1. 2. Find the radius of curvature of the curve y = e^x at the point where it crosses the y-axis.

1. 3. Find  the  radius of  curvature  of  the  curve  xy =  c² at  (c,c).

 

4.    Find  the  curvature  at  (3,-4)  to  the  curve  x² +  y² =  25.

 

5.    What is  the  curvature  of  x²+y²-4x-6y+10  =  0  at  any point on  it

 

 

 

 

 

KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM 6

 

MA1101-MATHEMATICS-I

 

1. 6. Define the curvature of a plane curve and what is the curvature of the straight line.

1. 7. Find  the  radius of  curvature  at  any point on  the  curve  r  =  e^θ

1. 8. Find  the  radius of  curvature  at  y =  2a  on  the  curve  y² =  4ax.

1. 9. Find the radius of curvature of the curve y = a cosh(x/a) at the point where it crosses the y axis.

10. Find  the  radius of  curvature  of  the  curve  y =  clog(sec(x/c)).

11. Find  the  radius of  curvature  at  x = π/2   on  the  curve  y =  4sinx –  sin2x.

12. Write  any two  properties  of  evolute.

13. Define  evolute.

14. Find  the  envelope  of  the  lines  x/t  +  yt  =  2c,  t  being  the  parameter.

15. Show that the family of straight lines 2y – 4x + λ = 0 has no envelope where λ is the parameter.

16. Find  the  envelope  of	x cosθ +	y sinθ =  1,  where θ is  the  parameter.
	a	b

 

17. Find the envelope of the family of straight lines x cosθ + y sinθ = 6, where θ is the parameter.

18. Find the envelope of the family of straight lines x cosα + y sinα = a secα , where α is the parameter.

19. Find  the  envelope  of  the  family 1-  x²+(y-k) ² =  0  where  k  is  the  parameter.

 

20. Find  the  envelope  of  x² +  y²-ax cosθ -  by sinθ =   0  where θ is  a  parameter.

 

PART  –  B
1.  (a)  Find  the  radius of  curvature  of  the  curve  x =  3acos θ –  acos3θ,
y =  3asin θ –  asin3θ at θ.	(8)

 

(b) Find  the  radius of  curvature  of  the  parabola  x =  at² ,  y =  2at at  t.   (8)

2. (a)  For  the  curve  x =  a(cos θ + θ sinθ), y =  a(sinθ – θ cosθ),  prove  that

 

the  radius  of  curvature  is  aθ.	(8)
(b)  Find  the  radius  of  curvature  at any point  (a  cos3θ, a  sin3θ)  on  the
curve  x2/3 +y2/3 =  a2/3.	(8)
3.  (a)  Prove  that  the  radius  of  curvature  at any point  of  the  cycloid
x =  a(θ+sinθ),  y=a(1-  cosθ)  is  4a  cos θ/2.	(8)
(b)  Find  the  center  of  curvature  of  the  curve √x+√y = √a  at  (a/4,a/4).	(8)

 

4.(a)Find  the  circle  of  curvature  of  the  parabola  y² =  12x at  the  point(3,6).  (8)

 

KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM	7

 

		MA1101-MATHEMATICS-I
	(b)  Show that the  circle  of  curvature  of √x + √y = √a  at  (a/4,a/4)  is
	(x-3a/4)2 +  (y-3a/4)2 =  a2 /2.			(8)
5.	(a)  Find  the  evolute  of  the  hyperbola x 2	− y 2 = 1 .		(8)
	a 2	b 2
	(b)  Show that the  equation  of  the  evolute  of  the  parabola  x2 =  4ay is
	4(y-2a)3 =  27ax2.			(8)
6.	(a)  Find  the  equation  of  the  evolute  of  the  parabola  y2 =  4ax.			(8)
	(b)  Find  the  equation  of  the  evolute  of  the  ellipse x 2		+ y 2 = 1 .	(8)
		a 2	b 2
7.	(a)Obtain  the  equation  of  the  evolute  of  the  curve  x =  a(cos θ + θ sinθ),
	y =  a(sinθ – θ cosθ).			(8)
	(b)Find  the  evolute  of  the  four  cupsed  hypocycloid  x2/3 +  y2/3 =  a2/3.			(8)
8.	(a)  Show that  the  evolute  of  the  cycloid  x=a(θ -sin θ),y=a(1-cos θ)  is
	another  cycloid.			(8)
	(b)  Find  the  evolute  of  the  rectangular  hyperbola  xy =  c2.			(8)

9. (a)  Prove  that  the  envelope  of ^x + ^y = 1 .  where  the  parameters  a

a          b

 

and  b  are  connected  by a  +  b=c  is √x +√y  = √c. (8)

 

(b) Find  the  equation  of  the  envelope  of ^x + ^y = 1 ,  where  the

a          b

 

parameters  a  and b  are  connected  by the  relation  a²+b² =  c² and  c  is

a  constant.		(8)
10.  (a)  Find  the  envelope  of  y cos θ-x sin θ = a  cos2 θ where θ is  a
parameter.		(8)
(b)  Find  the  envelope  of	ax	− by = a 2 − b 2 , θ is  a  parameter.  (8)
	cosθ	sin θ
		UNIT-  IV
FUNTIONS  OF  SEVERAL  VARIABLES
		PART-A

1. 1. If  x =  u(1-v),y =  uv   find ^{∂(u, v)} .

∂( x,  y)

1. 2. Find  the  minimum  point  of  f(x,y)=x²+y²+6x+12.

1. 3. Find  the  stationary point of  f(x,y)=xy + ⁹ + ³ .

x         y

 

 

 

 

 

 

 

KINGS  COLLEGE  OF  ENGINEERING-PUNALKULAM 8

 

				MA1101-MATHEMATICS-I
4.	Find  Taylor’s  series  expansion  of  ex siny near  the  point  (-1,				π	)  up  to  the  first
					4
	degree  terms.
5.  If  u=f(x-y,  y-z,  z-x)  find		∂u	+ ∂u + ∂u .
		∂x	∂y	∂z

 

6. Find ^du , if u=x³y²+x²y³, where x=at²,y=2at,using partial derivatives. dt

7. Find  the  stationary points  of  the  function  f(x,y)=x³+y³-12xy.

8. If  u  =  acoshx cosy,  v  =  asinhx siny,  then  show that

∂(u, v)

=

1

a2(cosh2x –  cos2y),

∂( x, y)

2

9.  If

u=x+y

and

y=uv

find  the  jacobian ∂( x, y) .

∂(u, v)

du

x

10.Find.

,  if  u  =      ,  where  x=et ,  y =  logt.

dt

y

∂(u, v)

11.

Find

,  if  u=2xy   ,v  =  x2-y2 ,  x=  r  cosθ ,  y=r  sinθ .

∂(r,θ )

12.

If  z =  sin-1(x-y),  x =  3t,y=4t2 find

dz

.

dt

13.

IF u= f(x+ay)+g(x-ay)  prove  that ∂ 2 u = a 2

∂ 2 u .

∂y 2

∂x 2

 

14. Find the Taylor’s series expansion of x^y near the point (1,1) up to the second degree terms.

15. If   u=e^xyz² find  du.

16.If   x =  rcosθ			,y =  rsinθ		find ∂(r,θ ) .
						∂( x, y)
17.  If  u  =	x	+ y + z		find	x ∂u + y ∂u + z ∂u .
	y	z	x		∂x	∂y	∂z

 

18. If  x =  u(1+v)  and   y=v(1+u)   ,   find ^{∂( x, y)} .

∂(u, v)

19.	If  u  =	x ,	prove  that	x	∂u	+ y ∂u	=  0.
		y			∂x	∂y
20.	Find  the  stationary points of  x2-xy+x2-2x+y.

 

 

		PART  –  B
1.(a)  Find  the  maxima  and  minima  for  xy2z3 subject to			x+y+z=6.  (8)
(b)Are  the  functions u=	x + y	and  v=tan-1(x)+tan-1(y)	functionally
	1 − xy
If  so, find  the  relation  between  them.(8)

 

 

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dependent ?

 

 

 

 

9

 

MA1101-MATHEMATICS-I

2.(a)  Expand f  (x,y)  =  4x2+xy+6y2+x-20y+21   in   Taylor’s   series  about  (-1,1).

(8)

2

2

∂(u, v)

x=rcosθ ,

y=rsinθ .Evaluate ∂(r,θ ) .

(b)  If  u  =  4x  +6xy ,  v  =  2y  +xy

,

(8)

3.(a)  FIind  the  minimum  value  of  xy2z2 subject  to  x +y +z=24  using lagrange

multiplier.(8)

(b)  Expand  exlog(1+y)  in  powers  of  x and  y upto  the  terms   of  third  degree.

(8)

4.(a)Given  the  transformation  u=ex cosy ,  v =  ex siny

and  that φ is  a  function  of  u

and  v also

of  x and  y   ,  prove  that

2

2

2

2

∂ φ + ∂ φ = (u 2 + v 2 )( ∂ φ + ∂ φ )

(8)

∂x 2

∂y 2

∂u 2

∂v 2

(b)Investigate  the  maxima  and  minima  ,if  any,of  the  function  y2+4xy+3x2+x3 (8)

5  (a)  If  u  =  sin-1(

x 2 + y 2

) prove  x

∂u

+ y

∂u

=tanu.

(8)

x + y

∂x

∂y

(b).  Using  lagrange’s

multiplier

method  , determine  the  maximum  capacity of

a  rectangular  tank  ,  open  at the  top  ,  if the  surface  area  is  108  sq.m.

(8)

6(a).  If  u= yz , v = zx , w = xy , find

∂( x, y, z) .

(8)

x

y

z

∂(u, v, w)

(b)  Expand  x2y+siny+ex in  powers  of  (x-1)  and  (y-π )  through   quadratic

forms.(8)

7(a).  Find  the  maximum  and  minimum  values  of  2(x2-y2)-x4+y4.  (8)

(b)  Examine  the  function  f(x,  y)=x3y2(12-x-y)  for  extreme  values.

(8)

8   (a).  Find  the  jacobian  of  y1,  y2,  y3  with  respect  to  x1,x2,  x3   if

y1= x2 x3 , y 2 = x3x1 , y3 = x1x2 .

(8)

x1

x2

x3

(b).If  u=cos-1(

x + y

) ,  prove  that x

∂u

+ y

∂u

=  -

1

cotu.

(8)

x +

∂x

∂y

2

y

 

9(a).  Expand  x²y+3y-2  in  powers  of  (x-1)  and  (y+2)   using  Taylor’s  expansion.(8)

(b).  Examine  f(x,y)=x3y3-12x-3y+20   for  its  extreme  values.	(8)
10(a).  Using  Taylor’s  expansion,  express f(x,y)  =  eax cos(by)	in  powers  of  x and  y
upto  second  degree  terms.	(8)
(b)Obtain  terms upto  the  third  degree  in  the  taylor  series  expansion  of  exsiny
around  the  point [1,π/2]	(8)

UNIT-V

 

ORDINARY  DIFFERENTIAL  EQUATIONS

PART-A

1. Solve  (D² +  4)y =  0.

1. Find  the  P.I  of  (D²-2D+5)y =  e^x sin2x.

1. Solve ^dx − y = 0; ^dy + x = 0

dt dt

 

1. Write Euler’s homogeneous linear differential equation .How will you convert it to a linear differential equation with constant coefficients?

1. 5. Solve  (D²+2D+1)y=e^-x.

 

 

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6. Find  the  P.I of  (D³+8)y =  cosh2x.

1. 7. Solve  (x²D²-xD+1)y=0.

8. Solve	d 2 y	= y
	dx 2
9.  If  x =  ez , express			d 2 y	in  terms of  the  derivatives  of  y w.r.to  z.
			dx 2

 

10. Solve   (D²+D+1)y=0

11. Find  the  P.I. Of  the  (D² +1)y =  x³.

12. Find  the  P.I. of  (D² +4)y  =  cos2x.

13. Solve  (x²D²+4xD+2)y=0.

14. Find  the  P.I.  Of  the  (D³ -1)y =  e^2x.

15. Find  the  P.I.  Of  the  (D -1)²y =  e^x sinx.

2

16. Find the P.I. Of the ^{d y} = xe^x. dx ²

 

17. Solve  (D³ -3D²+3D-1)y  =  x²e^x.

18. Solve  (D³ -6D²+11D-6)y =  0

	Find  the  C.F. of  x2 d	2	y -x dy +y =  0.
19.
	dx 2			dx

20. Solve  ((3x+2)²D² -(3x+2)D  +1)y =  0.

 

PART  -  B

 

1.    a)solve  (D²+2D-1)y=x²+e^2x (8).

 

b) Solve  (x²D²-2xD-4)y=32(logx)².      (8)

1. 2. a)  Solve   (D+4)x+3y  =  t

 

		(D+5)y+2x =  e2t							(8)
	b)Solve  y’’ +  y =  secx					by method  of  variation  of  parameters									(8).
3.	a)Solve	by method  of  variation  parameters   y’’-									4	y‘+	4	y = x 2 + 1				(8)
													x 2
											x
	b)Solve d 2 y +4y =  4tan2x by using  method  of  variation  of  parameters.
		dx 2
4.	a)Solve  (D2+6D+8)y =  e-2x +cos2x									(8)
		2
	b)Solve  x2 d			y +4x dy +2y =  sin(logx)						(8).
			dx 2		dx
5.	a)   Solve		dx	+ y = e 2t ,		dy		+ 4 x = t. given  that  x(0)  =  2  and  y(0)  =								1		(8)
			dt			dt										4
	b)Solve (x2D2+4XD+2)y=xlogx									(8).
6.	a)  Solve  (D2+5D+4)y=e-xsin2x+x2+1.									(8)

 

 

 

 

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	b)Solve	d 2 y	+y=xcosx,  by   using  method  of  variation  of  parameters		(8).
		dx 2
7	a).Solve	dx + 2 y = − sin t, dy − 2 x = cos t. .		(8)
		dt	dt
	b)Solve	(2x+3)2y’’-(2x+3)y’-12y=6x.     (8)

 

1. 8. a)Solve (D²-2D+2)Y=e^xx²+5+e^-2x. (8) b) Solve (D²+4D+3)y=e^-xsinx+xe^3x. (8)

9.	a)  Solve  by method  of  variation  of  parameters d 2 y +y=xsinx				(8).
				dx 2
	2
	b)  Solve  (x+2)2 d    y -(x+2) dy +y=x+2.			(8)
	dx 2	dx
	2
10. a)  Solve  x2 d     y -3x dy +4y=x2+cos(logx)				(8).
	dx 2	dx
	b)Solve  (D2-2D+1)Y=xexsinx		(8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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